【部分分式展开】在数学中，特别是在代数和微积分中，部分分式展开（Partial Fraction Decomposition）是一种将复杂有理函数分解为多个简单分式的技巧。这种方法常用于积分、微分方程求解以及信号处理等领域，有助于简化运算过程。
一、什么是部分分式展开？
部分分式展开是将一个有理函数（分子与分母均为多项式的函数）表示为若干个更简单的分式的和。其核心思想是：将一个复杂的分式拆分成几个更易处理的分式，从而便于进一步计算。
二、部分分式展开的条件
1. 分母必须能够因式分解；
2. 分子的次数必须低于分母的次数（即真分式）。若不是，则需先进行多项式除法，得到商和余式，再对余式进行分解。
三、常见类型及对应形式
| 分式类型 | 因式形式 | 部分分式形式 |
| 线性因子 | (ax + b) | A/(ax + b) |
| 重线性因子 | (ax + b)^n | A₁/(ax + b) + A₂/(ax + b)^2 + ... + A_n/(ax + b)^n |
| 二次不可约因子 | ax² + bx + c | (Ax + B)/(ax² + bx + c) |
| 重二次不可约因子 | (ax² + bx + c)^n | (A₁x + B₁)/(ax² + bx + c) + ... + (A_nx + B_n)/(ax² + bx + c)^n |
四、步骤总结
1. 检查分子和分母的次数：若分子次数不小于分母，先进行多项式除法；
2. 对分母进行因式分解；
3. 根据因式类型写出对应的分式形式；
4. 设未知系数并建立等式；
5. 解方程组，确定各系数的值；
6. 验证结果是否正确。
五、举例说明
例题：
将 $ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} $ 进行部分分式展开。
步骤：
1. 分母已分解为两个线性因子；
2. 设：$ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} $；
3. 通分得：$ 2x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1) $；
4. 展开并整理：
$ 2x + 3 = (A + B)x + (2A - B) $；
5. 对比系数：
$ A + B = 2 $
$ 2A - B = 3 $
6. 解得：
$ A = 1 $，$ B = 1 $；
最终结果：
$ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} $
六、应用场景
- 积分计算（如求不定积分）；
- 微分方程的拉普拉斯变换；
- 控制系统中的传递函数分析；
- 信号处理中的频域分析。
通过掌握部分分式展开的方法，可以大大简化复杂的代数运算，并提高解题效率。对于初学者而言，熟悉不同类型的因式及其对应的分式形式是关键。