【一元二次函数公式】一元二次函数是数学中常见的函数类型，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。它的一般形式为：
y = ax² + bx + c，其中 a ≠ 0。根据这个表达式，我们可以分析其图像、顶点、根等关键性质。
一、一元二次函数的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 一元二次函数 | 形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0 |
| 二次项 | 含 x² 的项，系数为 a |
| 一次项 | 含 x 的项，系数为 b |
| 常数项 | 不含 x 的项，值为 c |
二、一元二次函数的图像特征
一元二次函数的图像是抛物线，其形状由系数 a 决定：
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为：
x = -b/(2a)
顶点坐标为：
(-b/(2a), f(-b/(2a)))
三、求根公式（判别式）
一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的解可以通过以下公式求得：
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
其中，Δ = b² - 4ac 称为判别式，用于判断根的情况：
| 判别式 Δ | 根的情况 |
| Δ > 0 | 两个不相等的实数根 |
| Δ = 0 | 两个相等的实数根（重根） |
| Δ < 0 | 无实数根（有两个共轭复数根） |
四、函数的极值与单调性
- 当 a > 0 时，函数在顶点处取得最小值；
- 当 a < 0 时，函数在顶点处取得最大值；
函数的单调性如下：
- 在对称轴左侧（x < -b/(2a)），函数单调递减（若 a > 0）或递增（若 a < 0）；
- 在对称轴右侧（x > -b/(2a)），函数单调递增（若 a > 0）或递减（若 a < 0）。
五、总结
一元二次函数是初中到高中阶段的重要内容，掌握其基本公式和性质对于解决实际问题具有重要意义。通过理解其图像、顶点、根以及单调性，可以更深入地分析和应用这一类函数。
| 项目 | 内容 |
| 一般形式 | y = ax² + bx + c |
| 图像 | 抛物线 |
| 对称轴 | x = -b/(2a) |
| 顶点 | (-b/(2a), f(-b/(2a))) |
| 求根公式 | x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) |
| 判别式 | Δ = b² - 4ac |
| 根的类型 | 根据 Δ 判断实数或复数根 |
通过以上内容，可以系统地了解一元二次函数的相关知识，并在实际问题中灵活运用。